Geometrical Optics

Refraction and Reflection

如下图，光从 \(A\) 点到达 \(B\) 点，中间实线为两个介质的界面，上面介质的折射率是 \(n_1\)，下面介质的折射率是 \(n_2\)，入射角为 \({\theta}_{1}\)，出射角为 \({\theta}_{2}\)。

则 \(n_1 \sin{{\theta}_{1}}=n_2 \sin{{\theta}_{2}}\)

Note

折射率的计算是 \(n=\frac{c}{v}\)，其中 \(c\) 是光速，\(v\) 是光在此介质中的传播速度。

Spherical Lens

如下图，是一个球镜，左边 \(O\) 点是光源，右边 \(I\) 点是成像位置，其中左侧介质的折射率为 \(n_1\)，右边介质的折射率为 \(n_2\)。

现在光以角度 \(\alpha\) 射出到 \(A\) 点，经过折射到 \(I\)，与主光轴成 \(\beta\) 夹角。我们求在 \(A\) 点界面的切线，然后画出垂直的法线延长到 \(C\) 点，并与主光轴成 \(\theta\) 夹角。且入射角和出射角分别为 \({\theta}_{1}\) 和 \({\theta}_{2}\)。球镜的半径为 \(r\)。

根据，\(n_1 \sin{{\theta}_1}=n_2 \sin{{\theta}_2}\)，\(\sin{{\theta}_1} \approx {\theta}_1\)，\(\sin{{\theta}_2} \approx {\theta}_2\)。

Note

\(\theta = \sin{\theta} = \tan{\theta}\)

得到，\(n_1 {\theta}_1=n_2 {\theta}_2\)。

根据图上信息可知，\({\theta}_1=\alpha + \theta\)，\({\theta}_2=\theta - \beta\)。

带入上面的式子得，\(n_1(\alpha + \beta)=n_2(\theta - \beta)\)。

化简得，\(n_1\alpha +n_2\beta =(n_2-n_1)\theta\)。

因为，\(\alpha \approx \tan{\alpha}\)，\(\beta \approx \tan{\beta}\)，\(\theta \approx \tan{\theta}\)。

得到，\(n_1 \tan{\alpha}+n_2 \tan{\beta}=(n_2-n_1)\tan{theta}\)。

现在在图像上从 \(A\) 点向下垂直于 \(OI\) 做一个高 \(h\)，相接点在 \(P\) 点右边，我们定义此点的位置到 \(P\) 的位置的距离为 \(x\)。

根据图像可得，\(\tan{\alpha}=\frac{h}{do+x}\approx \frac{h}{do}\)，\(\tan{\beta}=\frac{h}{di-x}\approx \frac{h}{di}\)，\(\tan{\theta}=\frac{h}{r-x}\approx \frac{h}{r}\)。

Note

\(x\approx 0\)

带入式子得，\(n_1\frac{h}{do}+n_2\frac{h}{di}=(n_2-n_1)\frac{h}{r}\)。

化简得，\(\frac{n_1}{do}+\frac{n_2}{di}=\frac{n2-n1}{r}\)。

以下是不同情况下，像距和物距还有球镜的关系