Simple Harmonic Motion

定义

Any oscillating system for which the net restoring force is directly proportional to the negative of the displacement is said to exhibit simple harmonic motion.

恢复力与负的位移成正比。(简谐运动一定是周期性的，但是周期性的运动不一定是简谐运动)。

弹力和位移

如下图，在最初不受力的状态下，定义为 0 位移 (同时也叫 equilbrium position ，判断方法：合外力为 \(0\) )。

当我们将物体向左推时，弹簧收到压缩边有一个向左的力，但位移是向左的，所以 \(F=-kx\) 。

水平弹簧模型

参考下图。

1. 对于 a 中的情况是物体在平衡点的左侧 \(-A\) 处，此时弹力向右，且只有弹性势能的存在。
2. 对于 b 中的时候，物体到达平衡点，合外力为零。
3. 对于 c 中的时候，物体到达 \(A\) 处，弹力向左，只有弹性势能。
4. 对于 d 中的时候，回到了 a 。

竖直弹簧模型

参考下图。

证明：

在此系统内，最终只有重力势能和弹性势能的转换，前半段为全部的重力势能，后半段为完全的弹性势能。

\(mg(A+x)=\frac{1}{2}k{(A+x)}^2\)

\(mg=\frac{1}{2}k(A+x)\)

又因在平衡点合力为零： \(mg=kA\)

\(A=\frac{1}{2}(A+x)\)

得出结论： \(A=x\)