Energy in Simple Harmonic Motion

求 \(V_{max}\)

在简谐运动最头上，只有弹性势能，没有动能。在中间的平衡点时，只有动能，没有弹性势能。

在整个系统中机械能守恒，\(k.e.=e.p.e.\)。

同时我们可以认为在极端的值的情况下，\(\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mv_{max}^2\)。

得，\(v_{max}=\sqrt{\frac{k}{m}}A\)。

因为机械能守恒，\(\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2\)。

化简得，\(mv^2=kA^2-kx^2\)。

\(v=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}\)

\(v=\sqrt{\frac{k}{m}} \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}} \times A\)

\(v=v_{max} \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\)

见下图，两个三角形相似，\(\frac{v}{v_x}=\frac{A}{\sqrt{A^2-x^2}}\)。

简谐运动是圆周运动一个轴的投影，所以 \(\sqrt{\frac{A^2-x^2}{A^2}}=v_x\)。

\(v_x=v \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\)

根据，\(T=\frac{2\pi A}{v}=2\pi Af\)。

得出，\(T=\frac{2\pi A}{v}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

\(x=A\cos{\theta}\)

\(x=A\cos{\omega t}\)

\(x=A\cos{(2\pi ft)}\)

\(x=A\cos{(2\pi \frac{t}{T})}\)

以下公式请按照题目情况来决定使用 \(\sin\) 还是 \(\cos\)，正的还是负的。

\(x=-A\sin{(\omega t)}\)

\(v=-v_{max}\cos{(\omega t)}\)

\(a=a_{max}\sin{(\omega t)}\)